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乐透为何流行之金融奥秘
投资理财－－蒋 涛
　　金融研究中有一个派别专门研究效用函数，认为任何在不确定条件下的决策问题，可以通过如下方法得到：通过构造一个偏好函数，用来刻画承担风险的决策制定者的满意程度，如果存在并得到这样有趣的偏好函数，决策问题就能够通过寻找决策制定者满足程度最大化的决策方法获解。
　　事实上，上述偏好函数是一个代表决策者满意程度的指数（INDEX），尽管这个指数可以不是唯一的，但这不妨碍效用函数成为经济学帝国典型的数理基石。尽管阿莱（Allais）在著名的阿莱悖论中击败了期望效用理论，但期望效用理论的支持者提出了更多的证据支持阿莱悖论源自概念的混淆。
　　以下是两个非常著名的例子，这里不讨论效用函数，但只用效用的概念，似乎不能更深入地刻画投资与博彩的现象。
　　其一是乐透在世界很多地方，只要其是合法的，一定会非常流行。人们可以花2元钱去博100万元或更多的大奖，很多研究过概率或效用函数的人会认为乐透是典型的博傻。通常对于人们行为的观察和研究，基本上都强烈支持人类是风险厌恶者的假定，这就是大多数人为什么不会投资预期收益低于无风险资产的风险资产的原因。从概率角度看，这是一个严重不公平的赌博，而从期望效用函数的角度看，这是一个期望效用函数小于零的博弈。也许人们可以解释为乐透的投资者常常高估或憧憬自己的运气，或者有利他情结者愿意为博彩组织者提供的公共产品筹措资金或超义务纳税。
　　但另一个非常一致的例子是萨缪尔森（Paul Sameulson）在1963年构建的：你如果在街头告诉行人，用你手里的硬币投掷，如果行人赢了，行人得到200元，如果行人输了，行人损失100元。在这个例子中，绝大部分的行人不愿意参与这个赌博，显然这是一个期望效用函数为正或对于行人有利的博彩，但人们反倒不愿意参与。也许人们可以说，我得到200元的满意程度不如损失100元的痛苦程度，或者说我宁愿将上述赌博重复100次。
　　上述两个例子，一个从效用角度看，不合意，但踊跃参加；另一个，合意却响应者寥寥，这个有趣的现象，单从期望效用函数最优的角度看，似乎是投资者不理性了。能否进一步推断出如下结论：不同的投资金额如果全部损失，对于投资者的边际影响是不同的，投资或博彩金额大，投资者的边际影响大。投资者对于边际影响大的博彩或投资会更谨慎，直观和经验都支持投资2元到乐透（这里专门指政府的公共行为推进的乐透）和施舍2元给乞丐都可以看成是向善的行为，不会引起投资者的在意。但投资 100元的损失，可能会引起投资者的在意，如果加大投资者的报酬率，比如同样是50%的赢率下，回报不是200元，而是更多，比如1000元，投资者会否更乐意参与，应该会有更多的参与者。进一步，如果是50%的赢率下，回报不是200元，而是不确定的，最低是200元，也可能更多，没有限制，比如1万元，可以肯定的是，投资者一定会乐意参与。再进一步，如果所选定的投资者年收入必须在10万元以上，投资者一定会踊跃参与，这一点除了博彩的中意性不能满足乐透的特点之外，其余的边界条件已经与可乐透的边界条件接近了。最后，如果回报高达投资的几十万倍时，投资者就可以接受一个不公平的赌博了。
　　以下我们通过某种方式把萨缪尔森在1963年博彩的例子转化为萨缪尔森投资，我们图示乐透的条件演化过程（见图1）
　　从上述博彩或投资变化的条件对于投资者吸引力的变化，我们知道，风险与投资者的财富水平和效用函数有很大的关系。投资者的财富水平的提升，可以增加该投资者的风险忍受程度，效用理论中的调和绝对风险厌恶（HARA）效用函数集合可以满足其风险忍耐是财富水平的增函数（线性），这类效用函数族和经验或直观认同非常吻合。
　　上述变化的趋势如图2。
　　上述变化的核心：
　　假定财富水平足够高，在风险锁定的情况下，合意的博彩变成不合意的前提是回报要达到非常高的境地。
　　问题是在上面的演化中，我们研究了合意与不合意的转化是潜在报酬在起作用，但财富水平到底起了多少作用呢？如果财富水平足够，投资或博彩的投入的边际贡献小，投资者或赌徒可以有机会选择其他投资或博彩，这种替代效应，使得对于未来的投资或博彩的选择权（期权）对于现在的投资或博彩的决策的影响成为我们研究财富影响的契机。
　　我们通过设置一个限制条件，即投资者能够接受或拒绝投资或博彩，这是一个投资者拥有的选择权，比如风险投资家在选择项目时，由于项目本身的实施需要固定投资或成本，该风险资本家能够选择的就是参与或放弃。这表明，某些博彩或投资，赌徒或投资者们在没有对于未来的赌博（替代）的选择权的条件下，往往会被接受；但在存在这个选择权的条件下，就会被拒绝。以下为具体的例子：如果博彩参与人有初始财富2.1元，假定其效用是财富的对数函数，他有50%的机会获得0.107元，同样有50%的机会损失0.1 元，对于他而言，打这个赌是最优的。问题是，如果该赌徒知道他明天可以有50%机会获得2元，而50% 的机会，损失是1元，在这种情况下，也就是在最坏情况下，即使赌输了，其财富还不至于变为负资产，参与今天的赌博就不是最优的选择，明天的赌博选择权使得当前的某些合意风险变成了不合意风险。
　　如果今天和未来的赌博是服从相同概率分布，将来对相同风险再次赌博的机会总是促使在今天承担更多的风险。金融专家已经进一步证明如下结论：对于独立同分布的博彩，其赌博是一系列含有接受或拒绝选择权的，推迟接受一个合意的博彩永远都不是最优的。这就是人们常说的今日事今日毕的道理，这个结论隐含了一个结果，一旦赌徒决定拒绝一个博彩，他以后就不再赌博了，这又转换为一个最优停时问题了，直观看，推迟接受一个合意的风险是减少了赌徒的机会集合。
　　我们先看一个生活中常见的最优停时问题，然后再分析上述的博彩系列中的最优停时特点，某贼偷东西，每次都可以偷到钱物，如果该贼一直偷下去，最终会被警察抓住，不仅以前偷到的钱物要交出，还要接受牢狱处罚。在这个案例中，小偷最好的策略就是在合适的时候停止偷盗，金盆洗手。生活中还有的最优停时案例是企业招聘女秘书，应聘者云集，但人力资源经理每次只能面试一人，最优策略也是在合适的时候接受一个女秘书。如果假定还剩下t个博彩时，赌徒最佳财富水平集合为L(t)，上述金融专家证明的结论表明：当剩余的期限越少，赌徒可接受的财富水平集合就越小，赌徒就越愿意参与赌博了。看看1963年的萨缪尔森博彩，当时萨缪尔森的一位同事说：“由于我认为100元的损失多于200元的收益。但是，如果你同意赌100次的话，我愿意接受这个赌博”。该学者拒绝对单一风险打赌，但却愿意对于许多独立的、概率分布相同的风险打赌，这就暗含了随着剩余期变短，赌徒变得更愿意赌博了。
　　上述解释可以刻画萨缪尔森的同事拒绝单次博彩同意重复博彩的理由，而不是像他自己所解释的：“单次赌博不一定出现对自己有利的情况，但次数增加得足够多，大数率可以起作用”。萨缪尔森博彩转化为乐透的过程中已经表明，财富必须在足够大时，厌恶风险（递减的绝对风险厌恶型）的人才会参与赌博，事实上，在上述系列博彩中，剩余选择权的数量越多，人们开始接受赌博的最小财富水平就越小，就越乐于参与赌博。这就是萨缪尔森的同事愿意接受重复多次博彩的核心。
　　注：英文中的乐透和博彩是一个概念，这里我们乐透专指为以小博大的赌博或投资，特别是政府引导的公益事业的博彩与投资，博彩是指赌博或打赌。